`包裹，长文用`
`/`
`划分小节。 3. 列表内容用`
- `，引用用`
`，代码用`
`，重要句子可用``。
4. 保留原文所有信息，不得增删改内容。
5. 不要输出``/``/``等文档级标签。
正文是：
"Last-iterate convergence guarantees for stochastic gradient methods have attracted significant attention as practical implementations typically return the last iterate instead of an average of the iterates. In this paper, we study two approaches for analyzing the last-iterate convergence of proximal and projected stochastic gradient methods without bounded domain or bounded variance assumptions, where black-box variational inference serves as a running example. Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate. Moreover, when the horizon $T$ is known, we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$, matching the order known under bounded variance or bounded domain assumptions."
首先，我需要分析正文的结构。
- 开头部分：解释为什么last-iterate convergence重要。
- 然后，介绍论文研究的内容。
- 接着，说明在特定假设下得到的收敛率。
- 最后，当已知T时，改进的结果。
这看起来是一个学术摘要，可能不是典型的新闻，但任务指定是"新闻正文"，所以我应该当作新闻处理。
检查自然段落：
- 第一句："Last-iterate convergence guarantees... instead of an average of the iterates." 这是一个段落。
- 第二句："In this paper, we study... serves as a running example." 这可能是一个段落。
- 第三句："Under two related assumptions... for the last iterate." 另一个段落。
- 第四句："Moreover, when the horizon $T$ is known... bounded domain assumptions." 另一个段落。
所以，有四个自然段落。
规则说：每个自然段落用``包裹，长文用`
`/`
`划分小节。但这里没有明显的小节标题。正文是连续的，没有像"Introduction"、"Methodology"这样的标题。所以，我可能不需要添加`
`或`
`，因为没有划分小节的指示。
正文中没有标题，所以我应该只使用`
`来包裹每个段落。
规则3：列表内容用`
- `，但这里没有列表。
引用用`
`，但这里没有引用。 代码用`
`，但这里没有代码。
重要句子可用``，所以我需要识别重要句子。
什么句子是重要的？可能是关键结果或结论。
例如：
- "we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate."
- "we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$"
这些可能重要，可以用``。
另外，注意正文中有数学表达式：$\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ 和 $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$。在HTML中，如何处理这些？
规则说"保留原文所有信息"，所以应该原样保留。但在HTML中，可能需要正确转义或使用特殊字符。既然是纯文本，我应该保持原样，或者用HTML实体表示特殊字符。
$\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ – 在文本中，\widetilde 和 \mathcal 是LaTeX命令。在HTML中，通常用MathJax或其他渲染，但任务没有指定，所以我应该保留为文本。
规则4：不得增删改内容。所以，原样保留。在HTML中，<、>等字符需要转义，但这里没有<或>，只有$，在HTML中$是普通字符，不需要转义。但在上下文中，$可能用于数学，但在纯文本中，它是普通字符。
在给定的文本中，是$\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$，所以$是LaTeX的开始和结束。在HTML中，我可以保留为文本，但为了可读性，或许应该用或类似的东西，但规则说代码用，但这里不是代码，是数学表达式。
规则没有指定数学表达式的处理。规则3提到"代码用"，但数学不是代码。
为了安全，我应该原样保留。既然是纯文本，直接输出文本内容。
在HTML中，特殊字符如<、>、&需要转义，但这里没有这些字符。$是普通字符，可以保留。
例如，"1/\sqrt{T}" – / 和 \ 是普通字符，在HTML中没问题。
所以，我会保留所有文本原样。
现在，识别重要句子。
- "we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." – 这似乎是关键结果。
- "we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$" – 也很重要。
- 开头部分可能不那么重要。
规则说"重要句子可用"，所以我可以选择性地加粗。
在新闻中，通常关键结果会强调。
现在，关于段落：
- 第一段：解释背景。
- 第二段：论文研究内容。
- 第三段：主要结果1。
- 第四段：主要结果2。
所有段落都是叙述性的，没有小节标题，所以不需要/
。
规则2说"长文用
/
划分小节"，但这里只有几个段落，不算长文，所以可能不需要。
我会假设没有小节，只用
。
现在，构建HTML片段。
每个段落用
包裹。
重要句子用。
例如，在第三段："Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate."
这里，"we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." 可能加粗。
类似地，第四段："Moreover, when the horizon $T$ is known, we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$, matching the order known under bounded variance or bounded domain assumptions."
"we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$" 加粗。
但需要确保只加重要部分，不是整个句子。
规则说"重要句子"，可能整个句子。
为了精确，我可以加粗关键部分。
但在新闻排版中，通常加粗关键短语。
现在，写出来。
首先，第一段：
Last-iterate convergence guarantees for stochastic gradient methods have attracted significant attention as practical implementations typically return the last iterate instead of an average of the iterates.
第二段：
In this paper, we study two approaches for analyzing the last-iterate convergence of proximal and projected stochastic gradient methods without bounded domain or bounded variance assumptions, where black-box variational inference serves as a running example.
第三段：
Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate.
这里，"we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." 可能用包裹。
但应该用于强调，所以整个关键部分。 我可以写：
Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate.
`，代码用``，重要句子可用``。 4. 保留原文所有信息，不得增删改内容。 5. 不要输出``/``/``等文档级标签。 正文是： "Last-iterate convergence guarantees for stochastic gradient methods have attracted significant attention as practical implementations typically return the last iterate instead of an average of the iterates. In this paper, we study two approaches for analyzing the last-iterate convergence of proximal and projected stochastic gradient methods without bounded domain or bounded variance assumptions, where black-box variational inference serves as a running example. Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate. Moreover, when the horizon $T$ is known, we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$, matching the order known under bounded variance or bounded domain assumptions." 首先，我需要分析正文的结构。 - 开头部分：解释为什么last-iterate convergence重要。 - 然后，介绍论文研究的内容。 - 接着，说明在特定假设下得到的收敛率。 - 最后，当已知T时，改进的结果。 这看起来是一个学术摘要，可能不是典型的新闻，但任务指定是"新闻正文"，所以我应该当作新闻处理。 检查自然段落： - 第一句："Last-iterate convergence guarantees... instead of an average of the iterates." 这是一个段落。 - 第二句："In this paper, we study... serves as a running example." 这可能是一个段落。 - 第三句："Under two related assumptions... for the last iterate." 另一个段落。 - 第四句："Moreover, when the horizon $T$ is known... bounded domain assumptions." 另一个段落。 所以，有四个自然段落。 规则说：每个自然段落用``包裹，长文用`
`/`
`划分小节。但这里没有明显的小节标题。正文是连续的，没有像"Introduction"、"Methodology"这样的标题。所以，我可能不需要添加`
`或`
`，因为没有划分小节的指示。 正文中没有标题，所以我应该只使用`
`来包裹每个段落。 规则3：列表内容用`
- `，但这里没有列表。 引用用`
`，但这里没有引用。 代码用``，但这里没有代码。 重要句子可用``，所以我需要识别重要句子。 什么句子是重要的？可能是关键结果或结论。 例如： - "we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." - "we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$" 这些可能重要，可以用``。 另外，注意正文中有数学表达式：$\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ 和 $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$。在HTML中，如何处理这些？ 规则说"保留原文所有信息"，所以应该原样保留。但在HTML中，可能需要正确转义或使用特殊字符。既然是纯文本，我应该保持原样，或者用HTML实体表示特殊字符。 $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ – 在文本中，\widetilde 和 \mathcal 是LaTeX命令。在HTML中，通常用MathJax或其他渲染，但任务没有指定，所以我应该保留为文本。 规则4：不得增删改内容。所以，原样保留。在HTML中，<、>等字符需要转义，但这里没有<或>，只有$，在HTML中$是普通字符，不需要转义。但在上下文中，$可能用于数学，但在纯文本中，它是普通字符。 在给定的文本中，是$\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$，所以$是LaTeX的开始和结束。在HTML中，我可以保留为文本，但为了可读性，或许应该用或类似的东西，但规则说代码用，但这里不是代码，是数学表达式。 规则没有指定数学表达式的处理。规则3提到"代码用"，但数学不是代码。 为了安全，我应该原样保留。既然是纯文本，直接输出文本内容。 在HTML中，特殊字符如<、>、&需要转义，但这里没有这些字符。$是普通字符，可以保留。 例如，"1/\sqrt{T}" – / 和 \ 是普通字符，在HTML中没问题。 所以，我会保留所有文本原样。 现在，识别重要句子。 - "we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." – 这似乎是关键结果。 - "we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$" – 也很重要。 - 开头部分可能不那么重要。 规则说"重要句子可用"，所以我可以选择性地加粗。 在新闻中，通常关键结果会强调。 现在，关于段落： - 第一段：解释背景。 - 第二段：论文研究内容。 - 第三段：主要结果1。 - 第四段：主要结果2。 所有段落都是叙述性的，没有小节标题，所以不需要/
。 规则2说"长文用
/
划分小节"，但这里只有几个段落，不算长文，所以可能不需要。 我会假设没有小节，只用
。 现在，构建HTML片段。 每个段落用
包裹。 重要句子用。 例如，在第三段："Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." 这里，"we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." 可能加粗。 类似地，第四段："Moreover, when the horizon $T$ is known, we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$, matching the order known under bounded variance or bounded domain assumptions." "we remove the logarithmic factor and obtain the optimal order $\mathcal{O}(1/\sqrt{T})$" 加粗。 但需要确保只加重要部分，不是整个句子。 规则说"重要句子"，可能整个句子。 为了精确，我可以加粗关键部分。 但在新闻排版中，通常加粗关键短语。 现在，写出来。 首先，第一段：
Last-iterate convergence guarantees for stochastic gradient methods have attracted significant attention as practical implementations typically return the last iterate instead of an average of the iterates.
第二段：In this paper, we study two approaches for analyzing the last-iterate convergence of proximal and projected stochastic gradient methods without bounded domain or bounded variance assumptions, where black-box variational inference serves as a running example.
第三段：Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate.
这里，"we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate." 可能用包裹。 但应该用于强调，所以整个关键部分。 我可以写：Under two related assumptions relaxing the bounded variance, we show near-optimal anytime rate $\widetilde{\mathcal{O}}(1/\sqrt{T})$ for the last iterate.