包裹；长文用
/
划分小节。 3. 列表内容用
- ，引用用
，代码用
，重要句子可用。
4. 保留原文所有信息，不得增删改内容。
5. 不要输出//等文档级标签。
正文是一段英文文本，描述了一个关于矩阵感知优化器的研究。
现在，分析正文内容：
- 开头部分：讨论矩阵感知优化器的成功，以及非欧几里得几何在深度学习中的潜力。
- 中间部分：分析随机优化在一般赋范空间中的理论理解，特别是分布式设置。
- 具体细节：使用κ-正则赋范空间框架，推导高概率oracle复杂性界限。
- 比较：在欧几里得情况下，恢复标准minibatch SGD速率；对于非欧几里得几何，更精确。
- 引入算法：Rennela NSGD，一种半异步分布式算法，并建立墙钟时间复杂性保证。
- 结尾：在欧几里得情况下，界限与经典Rennela SGD匹配。
我需要识别自然段落。原文本是一个连续的段落，但根据内容，我可以将其分成几个逻辑部分。
让我分段：
1. 第一句："The empirical success of matrix-aware optimizers, such as Muon (Jordan et al., 2024) and Shampoo (arXiv:1802.09568), highlights the potential of non-Euclidean geometry for deep learning, including large language model (LLM) training."
2. 第二句："Despite this progress, the theoretical understanding of stochastic optimization in general normed spaces remains limited, particularly in distributed settings."
3. 第三句："We analyze minibatch stochastic gradient descent (SGD) for smooth nonconvex optimization with respect to an arbitrary norm on a finite-dimensional space."
4. 第四句："Using the framework of $κ$-regular normed spaces (arXiv:0809.0813), we derive high-probability oracle complexity bounds under a light-tail condition stated directly in the dual norm induced by the update norm."
5. 第五句："The bounds make the dependence on geometry explicit through the regularity constant $κ$ of the dual space."
6. 第六句："In the Euclidean case, our bound recovers the standard minibatch SGD rate up to logarithmic factors."
7. 第七句："For some non-Euclidean geometries and noise models, it is sharper than bounds obtained by converting a Euclidean noise assumption, reducing a linear dimension dependence to a logarithmic one."
8. 第八句："Building on this framework, we introduce Rennala NSGD, a semi-asynchronous distributed algorithm, and establish wall-clock time complexity guarantees under fixed, heterogeneous worker computation times."
9. 第九句："In the Euclidean case ($κ=1$), our bound matches the parameter dependence of classical Rennala SGD up to logarithmic factors."
这些句子可以组合成几个段落。用户说“每个自然段落”，所以可能需要根据主题分组。
可能的段落：
- 第一段：介绍背景和问题。
- 第二段：方法、结果和比较。
- 第三段：算法引入和保证。
让我尝试分组：
- 第一段：句子1-2：介绍优化器的成功和理论局限。
- 第二段：句子3-7：分析方法、界限和比较。
- 第三段：句子8-9：引入新算法和保证。
用户提到“长文用/
划分小节”，所以如果内容较长，我可以添加标题。原文本是一段新闻正文，可能不算特别长，但为了语义化，我可以添加小节标题。
检查内容：这是一个研究摘要，可能更适合用标题来组织。
用户说“长文用
/
划分小节”，所以如果我认为它长，就添加标题。但原文本只有几句话，或许不需要标题，直接用段落。
为了安全起见，我可以使用
包裹每个逻辑段落，不添加标题，除非必要。
现在，检查是否需要其他HTML元素：
- 列表：原文本中没有列表内容。
- 引用：没有引用块。
- 代码：有数学符号如$κ$，但这不是代码；用户说“代码用
”，但这里没有代码。数学符号可能用普通文本或特殊处理，但规则中没有指定数学公式。我应该保持原样，因为规则是“保留原文所有信息”，不得增删改内容。
- 重要句子可用：我可以选择一些关键句子用强调，但规则说“可用”，不是必须。所以，我可以选择不加，或者根据重要性加。
用户说“重要句子可用”，意思是可以但不强制。为了简单，我可以不加，除非明显重要。
现在，输出格式：只输出HTML片段，不要Markdown围栏或解释。
所以，我的响应应该只是HTML代码。
构建HTML片段：
首先，识别段落。我将原文本分成三个段落：
段落1：介绍部分。
段落2：分析部分。
段落3：算法部分。
原文本是连续的，所以我需要手动分段，但不得增删内容。所以，我应该保持句子顺序，但用包裹每个自然段落。 什么是自然段落？在新闻中，可能是一个段落，但这里内容有逻辑流。或许整个文本就是一个段落，但用户说“每个自然段落”，所以如果它自然分成多个部分，我可以用多个
。 看原文本：它是一个摘要，通常摘要是一个段落。但为了排版，我可以将其分成多个
。 为了安全，我将其作为一个段落处理，但用户可能期望分段。 再看用户指令：“每个自然段落用
包裹”，所以如果我认为它是一个自然段落，就用一个
。但文本较长，有多个主题，所以可能分成多个。 我将分成三个
，基于内容分组。 定义分组： -
从开始到 "including large language model (LLM) training." 和 "particularly in distributed settings." ？不，句子1-2是：成功和局限。 句子1：成功。 句子2：局限。 所以，段落1：句子1-2。 段落2：句子3-7：方法、界限、比较。 段落3：句子8-9：算法引入和保证。 句子3是："We analyze minibatch stochastic gradient descent (SGD) for smooth nonconvex optimization with respect to an arbitrary norm on a finite-dimensional space." 这是方法介绍。 句子4-5：具体框架和界限。 句子6-7：结果和比较。 所以，段落2：句子3到7。 段落3：句子8到9。 现在，输出HTML。 对于数学符号，如$κ$，我应该保持原样，因为它是文本的一部分。 重要句子：或许句子1或关键结果可以用，但为了不改变内容，我可能不加，除非必要。规则说“可用”，所以可选。我选择不加，以保持简单。 现在，编写HTML。 首先，段落1：
The empirical success of matrix-aware optimizers, such as Muon (Jordan et al., 2024) and Shampoo (arXiv:1802.09568), highlights the potential of non-Euclidean geometry for deep learning, including large language model (LLM) training. Despite this progress, the theoretical understanding of stochastic optimization in general normed spaces remains limited, particularly in distributed settings.
段落2：
We analyze minibatch stochastic gradient descent (SGD) for smooth nonconvex optimization with respect to an arbitrary norm on a finite-dimensional space. Using the framework of $κ$-regular normed spaces (arXiv:0809.0813), we derive high-probability oracle complexity bounds under a light-tail condition stated directly in the dual norm induced by the update norm. The bounds make the dependence on geometry explicit through the regularity constant $κ$ of the dual space. In the Euclidean case, our bound recovers the standard minibatch SGD rate up to logarithmic factors. For some non-Euclidean geometries and noise models, it is sharper than
，代码用，重要句子可用。 4. 保留原文所有信息，不得增删改内容。 5. 不要输出//等文档级标签。 正文是一段英文文本，描述了一个关于矩阵感知优化器的研究。 现在，分析正文内容： - 开头部分：讨论矩阵感知优化器的成功，以及非欧几里得几何在深度学习中的潜力。 - 中间部分：分析随机优化在一般赋范空间中的理论理解，特别是分布式设置。 - 具体细节：使用κ-正则赋范空间框架，推导高概率oracle复杂性界限。 - 比较：在欧几里得情况下，恢复标准minibatch SGD速率；对于非欧几里得几何，更精确。 - 引入算法：Rennela NSGD，一种半异步分布式算法，并建立墙钟时间复杂性保证。 - 结尾：在欧几里得情况下，界限与经典Rennela SGD匹配。 我需要识别自然段落。原文本是一个连续的段落，但根据内容，我可以将其分成几个逻辑部分。 让我分段： 1. 第一句："The empirical success of matrix-aware optimizers, such as Muon (Jordan et al., 2024) and Shampoo (arXiv:1802.09568), highlights the potential of non-Euclidean geometry for deep learning, including large language model (LLM) training." 2. 第二句："Despite this progress, the theoretical understanding of stochastic optimization in general normed spaces remains limited, particularly in distributed settings." 3. 第三句："We analyze minibatch stochastic gradient descent (SGD) for smooth nonconvex optimization with respect to an arbitrary norm on a finite-dimensional space." 4. 第四句："Using the framework of $κ$-regular normed spaces (arXiv:0809.0813), we derive high-probability oracle complexity bounds under a light-tail condition stated directly in the dual norm induced by the update norm." 5. 第五句："The bounds make the dependence on geometry explicit through the regularity constant $κ$ of the dual space." 6. 第六句："In the Euclidean case, our bound recovers the standard minibatch SGD rate up to logarithmic factors." 7. 第七句："For some non-Euclidean geometries and noise models, it is sharper than bounds obtained by converting a Euclidean noise assumption, reducing a linear dimension dependence to a logarithmic one." 8. 第八句："Building on this framework, we introduce Rennala NSGD, a semi-asynchronous distributed algorithm, and establish wall-clock time complexity guarantees under fixed, heterogeneous worker computation times." 9. 第九句："In the Euclidean case ($κ=1$), our bound matches the parameter dependence of classical Rennala SGD up to logarithmic factors." 这些句子可以组合成几个段落。用户说“每个自然段落”，所以可能需要根据主题分组。 可能的段落： - 第一段：介绍背景和问题。 - 第二段：方法、结果和比较。 - 第三段：算法引入和保证。 让我尝试分组： - 第一段：句子1-2：介绍优化器的成功和理论局限。 - 第二段：句子3-7：分析方法、界限和比较。 - 第三段：句子8-9：引入新算法和保证。 用户提到“长文用/
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包裹每个逻辑段落，不添加标题，除非必要。 现在，检查是否需要其他HTML元素： - 列表：原文本中没有列表内容。 - 引用：没有引用块。 - 代码：有数学符号如$κ$，但这不是代码；用户说“代码用
”，但这里没有代码。数学符号可能用普通文本或特殊处理，但规则中没有指定数学公式。我应该保持原样，因为规则是“保留原文所有信息”，不得增删改内容。 - 重要句子可用：我可以选择一些关键句子用强调，但规则说“可用”，不是必须。所以，我可以选择不加，或者根据重要性加。 用户说“重要句子可用”，意思是可以但不强制。为了简单，我可以不加，除非明显重要。 现在，输出格式：只输出HTML片段，不要Markdown围栏或解释。 所以，我的响应应该只是HTML代码。 构建HTML片段： 首先，识别段落。我将原文本分成三个段落： 段落1：介绍部分。 段落2：分析部分。 段落3：算法部分。 原文本是连续的，所以我需要手动分段，但不得增删内容。所以，我应该保持句子顺序，但用包裹每个自然段落。 什么是自然段落？在新闻中，可能是一个段落，但这里内容有逻辑流。或许整个文本就是一个段落，但用户说“每个自然段落”，所以如果它自然分成多个部分，我可以用多个
。 看原文本：它是一个摘要，通常摘要是一个段落。但为了排版，我可以将其分成多个
。 为了安全，我将其作为一个段落处理，但用户可能期望分段。 再看用户指令：“每个自然段落用
包裹”，所以如果我认为它是一个自然段落，就用一个
。但文本较长，有多个主题，所以可能分成多个。 我将分成三个
，基于内容分组。 定义分组： -
从开始到 "including large language model (LLM) training." 和 "particularly in distributed settings." ？不，句子1-2是：成功和局限。 句子1：成功。 句子2：局限。 所以，段落1：句子1-2。 段落2：句子3-7：方法、界限、比较。 段落3：句子8-9：算法引入和保证。 句子3是："We analyze minibatch stochastic gradient descent (SGD) for smooth nonconvex optimization with respect to an arbitrary norm on a finite-dimensional space." 这是方法介绍。 句子4-5：具体框架和界限。 句子6-7：结果和比较。 所以，段落2：句子3到7。 段落3：句子8到9。 现在，输出HTML。 对于数学符号，如$κ$，我应该保持原样，因为它是文本的一部分。 重要句子：或许句子1或关键结果可以用，但为了不改变内容，我可能不加，除非必要。规则说“可用”，所以可选。我选择不加，以保持简单。 现在，编写HTML。 首先，段落1：
The empirical success of matrix-aware optimizers, such as Muon (Jordan et al., 2024) and Shampoo (arXiv:1802.09568), highlights the potential of non-Euclidean geometry for deep learning, including large language model (LLM) training. Despite this progress, the theoretical understanding of stochastic optimization in general normed spaces remains limited, particularly in distributed settings.
段落2：We analyze minibatch stochastic gradient descent (SGD) for smooth nonconvex optimization with respect to an arbitrary norm on a finite-dimensional space. Using the framework of $κ$-regular normed spaces (arXiv:0809.0813), we derive high-probability oracle complexity bounds under a light-tail condition stated directly in the dual norm induced by the update norm. The bounds make the dependence on geometry explicit through the regularity constant $κ$ of the dual space. In the Euclidean case, our bound recovers the standard minibatch SGD rate up to logarithmic factors. For some non-Euclidean geometries and noise models, it is sharper than