就在今天，陶哲轩公开了其在加州理工学院举行的最新演讲《Math 2.0》（数学 2.0）。
他介绍道，这场演讲早在一年多前就已经开始筹划，最初的标题是《机器辅助证明》（Machine Assisted Proof），原计划于今年 5 月举行。后来，演讲被推迟到了 10 月。由于近期发生的一系列事件，演讲内容也发生了很大变化。不过，加州理工学院的活动网页上仍然保留着最初的演讲标题和摘要。
在这场演讲中，他首先回顾了数学发展的历史阶段，即「Math 1.0」；随后讨论了当前数学界因过度强调利用 AI 自动解决开放性数学问题而形成的现状。
陶哲轩阐述了自己对未来「Math 2.0」的愿景：在这一阶段，AI 工具将被用于支持数学研究共同体的发展，同时维护和强化数学理解在推动数学实际应用、使其更好地契合现实世界需求方面所发挥的作用。
PPT 地址：https://teorth.github.io/tao-web/slides/math-2-0-caltech-2026.pdf
以下根据陶哲轩完整演讲幻灯片进行中文翻译整理，保留了关键论点、案例、数字、图示含义及具体研究方向。
从「证明稀缺」到「证明富足」
AI 正在改变数学研究
现代 AI 工具的出现，正在冲击许多历史悠久的职业。陶哲轩指出，自己所从事的数学研究领域，在过去近一个世纪里基本保持着相对稳定的运行方式，但事实证明，数学研究尤其容易受到这一轮 AI 技术变革的冲击。要理解这种变化，需要先回顾传统数学研究的基本运行逻辑。
传统数学研究，也就是陶哲轩所说的「Math 1.0」，建立在一个核心前提之上：数学证明是稀缺的（Proof Scarcity）。找到一个尚未解决的数学问题的答案，并严格证明这个答案是正确的，通常十分困难，也相当罕见。这一过程往往需要研究者具备深厚的专业知识，投入大量时间和精力。
数学界现有的许多制度、传统、激励机制和研究目标，都是围绕这种「证明稀缺」的基本假设建立起来的。换句话说，当解决难题本身极为困难时，数学界自然会将能够解决重要开放问题视为衡量研究成果的重要标准。
但 AI 的出现正在动摇这个前提。陶哲轩认为，与其他学科相比，数学有几个特别适合现代 AI 的特点。
首先是客观可验证性。数学证明具有一种在其他许多学科中并不常见的性质：其正确性可以被客观验证。不同数学家可能会对什么样的数学研究更有趣、更有价值产生分歧，但对于某个特定问题的证明是否正确、是否完整，数学界通常有广泛共识。事实上，如果将证明写成适当的形式化语言，例如 Lean，那么计算机甚至可以机械地检查证明的正确性。
其次是高度数字化。数学证明不需要某种物理实体作为载体，也不需要依赖真实世界的数据输入，或通过现实实验来验证输出结果。原则上，只需要纸和笔，再加上标准数学教科书或数学资料库提供的定义，就可以完成证明的构建和验证。当然，解决复杂数学问题通常还需要了解相关研究文献。幸运的是，如今已有数量庞大的数学文献实现了数字化。
这意味着，数学研究同时拥有三个有利条件：客观可验证、容易数字化，以及大量高质量数据。这些条件使数学问题求解特别适合现代 AI 所依赖的机器学习技术。因此，前沿 AI 实验室优先推动数学问题求解能力的发展，而其他缺少上述一个或多个条件的应用领域，则未必能获得同等程度的进展。
随着前沿 AI 实验室在数学能力上投入大量资源，数学研究正在进入一个新的时代：证明富足（Proof Abundance）。
现在，只要拥有足够的计算资源，并能够访问前沿 AI 模型，人们就有可能在相对较短的时间内，获得许多过去被认为十分困难的开放数学问题的解答。越来越多的时候，向 AI 提出问题的人甚至不需要具备解决该问题的专业知识。
这与传统数学研究形成鲜明对比。过去，一个重要数学问题可能需要数学家投入数年甚至数十年才能解决。如今，某些曾经非常困难的问题，有可能在 AI 系统的帮助下迅速获得答案。不过，陶哲轩强调，这并不意味着 AI 已经在所有方向上拥有同样强大的能力。
当前 AI 的能力呈现出明显的「锯齿状」分布。在某些任务中，AI 的表现令人惊叹；但在另一些任务中，它仍然远远达不到要求。例如，对于需要主观判断、依赖现实世界交互，或者缺少足够数据的任务，AI 的表现与其在数学证明上的能力形成鲜明反差。
这种能力上的不均衡，既存在于数学内部，也普遍存在于其他领域。因此，不能因为 AI 在某些数学问题上取得突破，就推断它已经具备全面处理数学研究乃至现实世界复杂问题的能力。
尽管新闻稿和社交媒体可能给人一种印象，认为 AI 正在迅速解决数学界的各种重大难题，但事实并非如此。陶哲轩指出，目前处于数学研究前沿的大多数问题仍然没有得到解决，即便投入巨额计算资源也是如此。数学问题的空间是无限的，问题的难度也没有上限。
因此，无论 AI 取得多大进步，未来数学研究的前沿都会继续扩展。但与此同时，数学研究的目标和组织方式也必须发生变化。
盲目追求 AI 解题
损害数学的长期发展
1. 解题只是更深层研究目标的代理指标
数学问题求解历来是研究数学最直观、最容易被外界看到的目标之一。然而，陶哲轩认为，解题本身只是那些更有价值的长期目标的一种代理指标（Proxy）。在证明稀缺的时代，这种代理指标大体上是有效的。因为解决一个困难问题，通常意味着研究者需要深入理解相关数学结构、探索新的研究方法，并在此过程中推动数学知识的发展。
但进入证明富足时代后，这种关系正在发生变化。当 AI 能够直接给出问题答案时，得到证明未必意味着人类也获得了相应的数学理解。原本用于衡量数学进步的指标，开始与数学长期发展的真正目标出现偏离。
陶哲轩在这里使用了一个非常强烈的判断：继续盲目地只优化问题求解能力，如今已经在积极损害数学的长期健康发展。
在他看来，未来的「Math 2.0」必须同时完成两件事：继续拓展数学研究的前沿，并降低传统问题求解在数学研究中的中心地位。
2. 社交媒体制造的「AI 解题繁荣」
为了说明当前舆论环境中的问题，陶哲轩使用了一张著名的「幸存者偏差」示意图。图中是一架布满红色弹孔的飞机，旁边写着：「哇，我在社交媒体上看到的数学问题，居然都被 AI 解决了！」这里的关键在于「报告偏差」。公众在社交媒体上看到的，往往是 AI 成功解决数学难题的案例。大量失败的尝试却没有获得同样的曝光。因此，仅仅根据公开传播的成功案例，很难客观判断 AI 的真实数学能力。
陶哲轩强调，现在迫切需要更加透明、更加科学的 AI 能力评估。这种评估应当完整报告关键统计数据，包括计算资源消耗情况、失败的尝试和负面结果、AI 实际完成任务的能力，而非仅挑选成功案例展示。
他特别提到了 First Proof 项目，认为这是朝着这一方向迈出的一次尝试。First Proof 希望通过独立、透明、严格的方式评估 AI 在研究数学中的能力，为数学界和公众提供更清晰的判断依据。
3. 人类与 AI 合作，才可能真正扩展数学研究边界
陶哲轩用一张示意图展示了传统数学研究、当前 AI 研究和未来人机协作之间的关系。在这个示意图中，人类研究能够触及的数学领域与 AI 能够解决的问题之间存在一定重叠。
当前新闻稿和社交媒体主要关注的是 AI 成功解决问题的那部分区域。与此同时，还有大量没有被报告的 AI 失败尝试。但陶哲轩真正想强调的是另一块更大的区域：通过更加富有想象力和创造性的 AI 使用方式，人类与 AI 结合后能够探索的数学空间。
他的结论是：一旦我们以更具想象力的方式使用 AI，数学研究的前沿将显著扩展。这意味着，AI 的真正潜力不能仅用它能够独立解决多少数学难题来衡量。
实验数学迎来新阶段
从研究个别案例到研究海量数学问题
陶哲轩认为，AI 带来的重要变化之一，是数学家如今能够构建过去无法生成、或者生成成本极高的大规模数学数据集。这些数据集为一种新的实验数学研究方式创造了条件。过去，数学研究往往针对少数具有代表性的特殊问题展开深入分析，相当于「案例研究」。现在，研究者可以对大规模数学对象或问题进行系统研究，开展类似「总体调查」的工作。
这种变化能够帮助数学家重新绘制数学研究前沿的「难度地形图」。因为在强大 AI 工具出现之后，哪些问题困难、哪些问题容易，已经与过去有了显著差别。
陶哲轩在演讲中举出了两个例子。
1. 等式理论项目：解决超过 2200 万个真假命题
第一个案例是 Equational Theories Project（ETP，等式理论项目）。该项目开展于 2024—2025 年。ETP 通过众包方式汇集人类研究者与自动化工具提供的论证，对泛代数（Universal Algebra）中的超过 2200 万个真假命题作出判定。这意味着，研究者能够在大规模范围内探索不同代数等式之间的逻辑关系。
陶哲轩展示了一张由大量数学命题和连接关系构成的网络图，反映了这些数学对象之间复杂的推导关系。这一项目展示了一种新的研究模式：大量原本需要逐个研究的数学关系，可以通过人类与自动化工具协作进行系统梳理。由此获得的价值，也超出了其中某一个命题的证明本身。
2. 逆伽罗瓦问题挑战：从 24 次扩展到 31 次
第二个案例是 Inverse Galois Problem Challenge（逆伽罗瓦问题挑战）。陶哲轩介绍了其中的 IGP24 项目。在第一阶段，研究者通过一次成功的众包竞赛，寻找 24 次多项式，使其伽罗瓦群分别对应这一次数下约 25000 种可能的伽罗瓦群。这一阶段已经成功完成。第二阶段将进一步展开协作，尝试将研究范围扩展至 31 次。
这一项目展示了大规模协作与自动化计算如何推动数学对象的系统性探索。与传统研究重点分析少数典型例子相比，这种方式能够覆盖更庞大的数学对象空间。陶哲轩认为，这些实践代表了未来实验数学的重要发展方向。
超越解题
数学开放问题更像「灯塔」
这是整场演讲最值得关注的部分之一。
首先，数学家真正追求的是什么？
陶哲轩指出，与大众的普遍印象，甚至部分数学家对外宣传的形象不同，数学家的工作并不只是解决开放问题。尤其在纯数学领域，开放问题通常发挥着一种特殊作用。它们更像「灯塔」（Lighthouses）。灯塔的价值并不只在于最终抵达那里，更在于它能够指引研究者探索周围的数学领域。
在试图解决问题的过程中，研究者可能发现新的数学结构、建立新的方法，或者形成新的理论认识。这些收获往往比问题最终的答案更有价值。即使研究最终失败，或者只取得部分进展，也可能留下重要的数学洞见。
但如果自动化工具过早地将研究者直接带到这些「灯塔」，就可能干扰对其他探索路径的研究，甚至让问题周围的研究领域失去活力。
下图展示了一个简单的对比：在 AI 出现之前和之后。按照这种理解，AI 只是让数学问题更快地得到解答。陶哲轩随后提出一句反问：「这肯定是一件好事，对吧？」但他认为，这种模型忽略了数学研究中最重要的部分之一：人类理解。
其次，Math 1.0 真正的数学研究生态。
陶哲轩给出了一个更加准确的数学研究生态模型。这个模型包含五个重要环节：纯数学问题、纯数学解答、人类理解、应用数学问题以及与实际目标相契合的应用数学解答。
除此之外，还存在另一种结果：与实际目标不一致的应用数学解答。在传统 Math 1.0 体系中，纯数学问题的求解过程会不断增进人类理解。而人类理解反过来又会推动新问题的提出，以及后续研究的发展。这使数学研究形成一个能够持续更新的循环。
与此同时，纯数学研究获得的洞见，也可以通过人类理解转移到应用数学领域，帮助研究者寻找更符合现实需求的解答。其中有一个关键区别：纯数学证明可以被客观验证，但应用数学解答是否符合现实目标，通常需要主观判断。例如，一个数学模型可能在其自身假设下完全正确，但这并不意味着使用该模型得到的现实决策一定合理。
最后，当 AI 绕过人类理解，会发生什么？
下图展示了另一种情形。AI 可以直接从纯数学问题生成纯数学解答，也可能直接为应用数学问题生成某个数学上成立的结果。
但在这个过程中，传统的「人类理解」环节可能被绕过。纯数学问题虽然得到了解决，但求解过程中本来可能形成的理解、经验和方法，没有充分进入人类知识体系。应用数学领域的情况更加复杂。由于实际应用需要判断结果是否符合人类真实目标，AI 直接给出的解答即使满足某些形式化要求，也可能与现实需求产生偏差。
因此，陶哲轩警告：以不可持续的方式，不加区分地使用 AI 来解决数学问题，会损害数学领域的长期健康发展，也会妨碍数学知识安全地应用于更加复杂的现实世界。
为了说明数学理解在 AI 时代的重要性，陶哲轩提出了一个与癌症治疗有关的思想实验。假设我们向一个先进的 AI 系统发出指令：「找到一种能够通过三期临床试验的癌症疗法。」
在消耗大量计算资源之后，AI 给出了一组此前未知的化学物质组合。根据它建立的数学模型预测，如果将这些化学物质混合后注射到患者体内，就能杀死患者体内所有癌细胞。虽然没有人真正知道 AI 是如何找到这种化学组合的，但其模型预测已经通过 Lean 形式化验证。更进一步，这种化学组合确实通过了三期临床试验。
那么，问题来了。AI 是否可能利用临床试验流程中的某些漏洞，给出一个表面满足要求、实际却偏离医疗目标的方案？在将这种化学混合物注入自己的血液之前，你是否希望至少有一位人类癌症专家真正理解这种疗法的作用机制？或者，至少有一位人类数学家理解 AI 寻找这种化学组合时所使用的数学模型？
陶哲轩借此说明：即使 AI 的结果通过形式化验证和现实测试，我们仍然有理由重视人类对其工作机制的理解。
Math 2.0 具体怎么做？
陶哲轩提出多条研究方向
陶哲轩重新绘制了数学研究生态图。与直接用 AI 绕过人类理解不同，这一次，AI 被加入到人类理解与数学研究的多个连接环节中。AI 可以帮助人类理解纯数学问题，支持知识积累和理论探索，也可以辅助研究者获得新的纯数学成果。在应用数学领域，AI 还可以协助人类判断数学模型的适用性，并寻找符合实际目标的解答。
因此，陶哲轩提出：更加可持续的「Math 2.0」AI 使用方式，是强化人类理解与数学之间相互作用的所有环节。这也是他对未来数学研究体系的核心构想。
接下来，陶哲轩列举了一系列更具体的 AI 数学研究应用。
1. 从解决开放问题，转向解决「开放阐释问题」
陶哲轩提出，可以关注「开放阐释问题」（Open Exposition Problems），而非只关注传统的开放研究问题。所谓开放阐释问题，是指某个数学结果已经被证明，但现有证明仍然晦涩难懂，缺少清晰、具有启发性的解释。研究者可以利用 AI 寻找更容易理解的证明方式，揭示证明背后的数学动机。
因此，这类工作的目标不一定是得到一个全新的定理，而是让人们更好地理解已有结果。陶哲轩特别提到了重新调整后的 Caltech Mathathon 活动，认为这是一次有趣的探索。
2. Caltech Mathathon：老问题，新证明
Caltech Mathathon 计划于 2026 年 11 月 13 日至 15 日举行。这是一次由学生组织的活动，主要目标是利用开源 AI 工具，为已经得到证明的数学结论寻找新的或改进后的证明。这些问题本身已经解决，但当前的证明可能在一个或多个方面令人不满意。例如，证明可能过于复杂、难以理解，或者无法直观揭示数学结构。
这一活动围绕的核心问题是：「我们如何利用 AI 增强人类对数学的理解？」活动鼓励参与者选择已有证明难以理解、或者令人不满意的数学问题，并通过 AI 探索更清晰的证明。其涉及的示例包括四色定理、ABC 猜想和纳维–斯托克斯问题。这类活动体现了 Math 2.0 的另一种研究价值：即使一个数学问题已经解决，围绕它仍然存在大量值得探索的工作。
3. 建立持续更新的数学知识网络
陶哲轩提出的另一种应用，是将大量数学研究论文汇集到一个更大的、持续更新的知识网络中。传统数学知识分散在大量研究论文、专著和数据库中。虽然这些文献已经数字化，但不同结果之间的联系未必能够得到系统整理。借助 AI，可以尝试将分散的研究结果关联起来，形成更容易维护和更新的数学知识体系。
作为早期实践，陶哲轩介绍了：Integrated Explicit Analytic Number Theory Network（IEANTN，综合显式解析数论网络）。这是一个持续更新的知识网络，也可以理解为一个动态维护的「电子表格」。它将显式解析数论领域中大量相互关联的研究成果整合在一起。研究者可以通过向网络添加新结果，或者从网络中移除结果，实时更新整个知识体系。
下面展示了一张由多个彩色节点和连接线组成的网络图。节点代表相关数学结果，连接关系体现这些结果之间的依赖或联系。这一项目的目标，是让数学知识逐渐形成更加结构化、可以持续维护和更新的体系。
4. 建立大型、高质量的形式化数学库
陶哲轩还特别提到了数学形式化库的建设。例如，Lean 生态中的 Mathlib。形式化数学库将数学定义、定理和证明整理为计算机能够读取和验证的形式。随着这类资料库不断扩展，数学研究者和 AI 系统就能在统一的形式化基础上调用和检查更多数学知识。
Math 2.0 的一项重要工作，就是建立规模更大、质量更高的形式化数学资源。这也能够为进一步开展机器辅助数学研究提供基础。
5. 用 AI 发现新的原理、方法和洞见
陶哲轩提出，AI 的作用可以从寻找新的证明，进一步扩展到寻找和突出新的：数学原理、数学方法、数学洞见。这种方向关注的是证明背后的知识价值。例如，AI 可能通过分析大量不同问题的证明，帮助研究者识别某种具有广泛适用性的技术，或者发现不同理论之间此前没有被注意到的联系。这些发现能够进一步丰富人类对数学的理解。
6. 对已证明的定理开展「消融研究」
陶哲轩还提出了一个颇有意思的方向：消融研究。在 AI 研究中，消融实验通常用于考察模型或系统中某个组件的实际贡献。
陶哲轩认为，类似思路也可以用于数学研究。假设某个定理已经得到证明，那么研究者可以尝试移除其中使用的关键理论或前提条件，看看这个定理是否仍然能够被证明。例如，某个数学结果目前只能通过非初等方法得到证明。研究者可以尝试寻找一个更加初等的证明，看看是否能够避免依赖复杂的高阶理论。这样的研究能够帮助人们理解，某些数学工具是否真正不可或缺。
7. 自动探索「定理的邻域」
另一个研究方向是：自动探索定理的邻域。
一个数学定理通常建立在一组明确的假设条件之上。陶哲轩提出，可以利用 AI 系统性地改变、削弱或者删除其中的某些假设，观察原有结论还能保留多少。例如，一个定理在满足三个条件时成立。那么，去掉其中一个条件后，结论是否仍然成立？如果原有结论不再成立，是否仍然能够得到一个稍弱的结果？
通过系统研究这些变化，数学家能够更全面地理解一个定理的适用范围及其背后的结构。这种探索也可能产生新的猜想与研究方向。
8. 开发专门的开源数学模型
陶哲轩还提出，应当开发针对数学任务专门定制的开源 AI 模型。这些模型的目标是高效完成特定数学任务，同时具备较高程度的：可解释性、安全性。
他特别补充了一句话：「一些开放数学模型很快就会发布 —— 敬请期待！」
9. 构建交互式、结构化的数学教材与演示内容
Math 2.0 的另一种应用，是利用 AI 将某个数学理论中的大量研究结果整理成组织良好、可以交互的数学文本或演示内容。例如，将分散在不同论文中的定义、定理、证明和应用整合起来，形成结构清晰、便于探索的研究资料。这能够帮助数学研究者更有效地理解一个领域已有的知识。
10. 分析数学模型在现实应用中的失效方式
最后，陶哲轩再次回到人类理解与现实世界应用之间的关系。在纯数学模型研究过程中积累的专业知识和洞见，可以帮助研究者分析这些模型被用于真实世界时可能出现的失效模式。与此同时，当 AI 工具被用于解决现实问题时，研究者还可以利用数学理解来识别潜在的目标不一致问题。
这意味着，数学家未来的一项重要工作，是帮助判断 AI 所使用的数学模型是否适合现实场景，以及模型可能在什么情况下产生错误或不符合人类目标的结果。
Math 2.0 最大的障碍
不是技术，而是想象力
在演讲最后，陶哲轩给出了整场演讲中最具概括性的一句话：实现「Math 2.0」的主要瓶颈，不是技术，甚至不是制度文化，而是想象力。
在陶哲轩看来，AI 已经让数学研究拥有了大量过去难以想象的技术能力。但数学界目前对这些能力的利用，仍然高度集中在一个传统目标上：解决更多开放数学问题。
他所期待的 Math 2.0，则要求研究者重新思考 AI 能够为数学带来的价值。例如，让数学证明更容易被理解，让分散的研究成果形成不断更新的知识网络，让数学家能够开展前所未有的大规模实验，以及让数学知识更加可靠地服务于现实世界。
在这种研究体系中，数学证明依然重要，但不应成为衡量数学进步的唯一中心。与之同样重要的，是围绕数学问题形成的知识、方法、理解与判断能力。这也呼应了陶哲轩在演讲开头提出的转变：当 AI 使数学从证明稀缺走向证明富足，数学研究的长期目标需要重新调整。
原始链接：https://terrytao.wordpress.com/2026/10/10/math-2-0/
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